Sistem persamaan linear Tiga Variabel (SPLTV)

ittekcno.blogspot.com - pada artikel ini materi yang akan kita bahas bersama adalah tentang sistem persamaan linear tiga variabel ( SPLTV )

Pengertian sistem persamaan linear tiga variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan dimana masing-masing persamaan memiliki tiga variabel yang berpangkat satu. Bentuk umum dari persamaan linear tiga variabel adalah sebagai berikut:

ax + by + Cz = d

dimana :

x, y dan z adalah variabel

a adalah koefisien variabel x

b adalah koefisien variabel y

c adalah koefisien variabel z, dan

d adalah konstanta

dimana a, b, c dan d adalah bilangan real dan a, b, c tidak boleh semuanya 0.

Dalam menyelesaikan soal-soal sistem persamaan linear tiga variabel kita dapat menggunakan metode subtitusi dan metode eliminasi. Metode subtitusi adalah suatu metode penyelesaian persamaan dengan cara memasukkan salah satu persamaan ke persamaan yang lain.

Baca Juga :

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

sedangkan metode eliminasi adalah suatu metode penyelesaian persamaan dengan cara menghilangkan salah satu dari variabel yang ada. Untuk lebih jelas perhatikan contoh soal SPLTV berikut:

Contoh 1 :

Tentukan nilai x, y dan z dari persamaan berikut!

X + 3y +2z = 2

2x – y + z = 5

3x – 2y – z = 3

Jawab :

X + 3y +2z = 2 . . . . . . (1)

2x – y +z = 5 . . . . . . . (2)

3x – 2y – z = 3 . . . . . . (3)

Langkah 1 : kita ubah persamaan (1) menjadi

X + 3y + 2z = 2

X = -3y – 2z + 2 . . . . . . (4)

Langkah 2 : subtitusi pers (4) ke pers (2)

2x – y + z = 5

2 (-3y – 2z + 2) – y + z = 5

-6y – 4z + 4 – y + z = 5

-7y – 3z = 1 . . . . . . (5)

Langkah 3 : subtitusi persamaan (4) ke pers (3)

3x – 2y – z = 3

3(-3y – 2z + 2) – 2y – z = 3

-9y – 6z + 6 – 2y – z = 3

-11y – 7z = -3 . . . . . . . (6)

Langkah 4 : setelah memperoleh pers (5) dan (6) selanjutnya kita rubah pers (5) menjadi

Langkah 5 : setelah memperoleh nilai z = 2 selanjutnya kita subtitusi z = 2 ke pers (5)

-7y – 3z = 1

-7y – 3(2) = 1

-7y – 6 = 1

-7y = 7

y = -1

langkah 6 : nilai z = 2 dan y = -1 kita subtitusi ke pers (1) untuk memperoleh nilai x

x + 3y + 2z = 2

x + 3 (-1) + 2 (2) = 2

x – 3 + 4 =2

x + 1 = 2

x = 2-1

x = 1

jadi diperoleh nilai x=1, y=-1 dan z=2.

Contoh 2 :

tentukan nilai x, y, dan z dari persamaan berikut ini :

x + 3y + 2z = 2

2x – y + z = 5

3x – 2y – z = 3

Jawab :

Masih dengan persamaan yang sama seperti soal nomor 1 di atas namun untuk soal nomor 2 ini kita akan menggunakan metode elimisnasi dalam mengeksekusinya.

x + 3y + 2z = 2 . . . ( 1 )

2x – y + z = 5 . . . ( 2 )

3x – 2y – z = 3 . . . ( 3 )

Langkah 1 :

Ketika eliminasi salah satu variabel disini kita akan mengeliminasi variabel x ( kalian bebas memilih variabel mana yang ingin kalian eliminasi ) dengan cara kita kurangkan persamaan (1) dan (2).

Langkah 2 :

Selanjutnya kita masih eliminasi variabel x dengan cara kita kurangkan persamaan (2) dan (3)

Langkah 3:

Kita eliminasi variabel y dengan cara kita kurangkan persamaan (4) dan (5).

langkah 4 :

setelah memperoleh nilai z = 2, selajutnya kita masukan saja z = 2 ke persamaan 4 ( bisa juga ke persamaan 5 )

7y + 3z = -1

7y + 3(2) = -1

7y + 6 = -1

7y = -7

y = -1

langkah 5 :

nilai z = 2 dan y = -1 kita masukan persamaan 1 ( bisa juga ke persamaan (2) atau (3)

x + 3y + 2z = 2

x + 3(-1) + 2(2) = 2

x – 3 + 4 = 2

x + 1 = 2

x = 2 – 1

x = 1

jadi kita peroleh nilai x =1, nilai y = -1, dan nilai z = 2

Penerapan Sistem Linear Tiga Variabel ( SPLTV )

Penerapan SPLTV ini banyak kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu contohnya pada transaksi jual beli yang melibatkan 3 variabel barang yang berbeda. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut ini :

Contoh soal :

Diketahui harga 4 kg salak, 1 kg jambu, dan 2 kg kelengkeng adalah Rp 54.000. harga 1 kg salak, 2 kg jambu, dan 2 kg kelengkeng adalah Rp 43.000. harga 3 kg salak, 1 kg jambu, dan 1 kg kelengkeng adalah Rp 37.750. berapakah harga 1 kg jambu ?

Jawab :

Misalkan :

x = 1kg salak

y = 1 kg jambu

z = 1kg kelengkeng

Ditanyakan : y . . . ?

Dari soal, kita peroleh persamaan :

4x + y + 2z = 54.000

X + 2y + 2z = 43.000

3x + y + z = 37.750

Selanjutnya kita eliminasi variabel x yang ada di pers (1) dan (2)

Eliminasi juga variabel x yang ada di pers (2) dan (3)

Dari pers (4) dan (5), eliminasi variabel z

jadi harga 1 kg Jambu adalah Rp 8.500

Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel ( SPLTV )

contoh soal :

Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 1 kg anggur adalah Rp 70.000. Harga 1 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg anggur adalah Rp 90.000. dan harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk serta 3 kg anggur adalah Rp 130.000. berapakah harga 1 kg dari masing-masing buah tersebut ?

Jawab :

Misalkan : x = 1 kg mangga

y = 1 kg jeruk

z = 1 kg anggur

ditanyakan: x =……?

y =…..?

z =…..?

dari soal kita peroleh

2x + 2y + z = 70.000 . . . . . . (1)

x + 2y + 2z = 90.000 . . . . . . (2)

2x + 2y +3z = 130.000 . . . . . . (3)

Kita eliminasi variabel z (terserah mau eliminasi variabel yang mana) dengan cara kita kurangkan pers (1) dan (2)